はじめに
AIや機械学習の世界でよく耳にする「マルコフ決定過程（Markov Decision Process, MDP）」という言葉。なんだか難しそう…と感じるかもしれません。しかし、これはAIが「最適な次の一手」を考えるための、非常に重要で強力なツールなのです。
一言でいえば、マルコフ決定過程とは、結果が不確実な状況で、最善の行動を連続して選択していくための数学的なモデルです。 これは、特に「強化学習」という、AIが試行錯誤を通じて賢くなっていく学習方法の基礎となっています。
このブログでは、このマルコフ決定過程モデルの仕組みと、なぜそれが重要なのかを、初心者の方でもわかるように、具体的な例を交えながら解説していきます。
マルコフ決定過程モデル(MDP)って何？
MDPは、意思決定を行う主体である「エージェント」が、「環境」の中で最適な行動を学習していく問題を数学的に表現したものです。 エージェントが何らかの「行動」をとると、環境の「状態」が変化し、その結果として「報酬」が与えられます。 この一連のサイクルをモデル化したものがMDPです。
重要な性質：「マルコフ性」
MDPを理解する上で欠かせないのが「マルコフ性」という性質です。 これは、「未来の状態は、過去の履歴には関係なく、現在の状態と行動だけで決まる」という考え方です。
例えば、すごろくを考えてみましょう。次にどのマスに進むかは、今いるマスの位置（現在の状態）と、振るサイコロの種類（行動）だけで決まります。10回前にどのマスにいたか、といった過去の情報は関係ありません。このように、未来の予測に過去の全履歴が必要ないため、問題をシンプルに扱うことができます。
MDPを構成する5つの要素
マルコフ決定過程は、以下の5つの主要な要素で定義されます。 ここでは、お掃除ロボットを例に考えてみましょう。
| 要素 | 説明 | お掃除ロボットの例 |
|---|---|---|
| 状態 (State) | エージェントが存在できる状況や環境の様子。 | ロボットがいる部屋（リビング、寝室）、バッテリー残量、ゴミの位置など。 |
| 行動 (Action) | 各状態でエージェントが選択できる行動の選択肢。 | 前に進む、右に曲がる、掃除を開始する、充電ステーションに戻るなど。 |
| 遷移確率 (Transition Probability) | ある状態で特定の行動をとったとき、次にどの状態へ移るかの確率。 | リビングで「前に進む」を選択した場合、90%の確率でキッチンに移動するが、10%の確率でタイヤが滑ってリビングに留まる、など。 |
| 報酬 (Reward) | 行動の結果としてエージェントが受け取る即時的なフィードバック。数値で表される。 | ゴミを吸い込んだら+10点、壁にぶつかったら-5点、充電が完了したら+50点など。 |
| 割引率 (Discount Factor) | 将来得られる報酬を、現在の価値に換算する際の割引率（0〜1の値）。 | 目先の小さな報酬（小さなゴミ）と、将来の大きな報酬（充電完了）のどちらを優先するかを調整する係数。1に近いほど将来を重視する。 |
どうやって最適な行動を見つけるの？
MDPの目標は、長期的に見て総報酬を最大化するような行動のルール、すなわち「方策（Policy）」を見つけ出すことです。 方策とは、簡単に言えば「どの状態で、どの行動をとるべきか」という指針や戦略のことです。
この最適な方策を見つけるために、「ベルマン方程式」という重要な方程式が使われます。 これは、ある状態の価値（将来得られる報酬の期待値）を、次の状態の価値と即時報酬を使って再帰的に表現する式です。
数式は複雑なのでここでは割愛しますが、イメージとしては、それぞれのマス（状態）に「このマスにいると、最終的にどれくらいのスコアが期待できるか」という価値を計算していくようなものです。全てのマスについて価値が計算できれば、あとは「今いるマスから見て、次に行くマスの価値が一番高くなるような行動」を選び続ければ、それが最適な方策になる、というわけです。
この計算には「価値反復法」や「方策反復法」といった動的計画法の手法が用いられます。
MDPの活躍事例
マルコフ決定過程モデルは、理論的なモデルというだけでなく、私たちの身の回りの様々な技術に応用されています。
- ゲームAI: 2016年に世界のトップ棋士を破った囲碁AI「AlphaGo」は、強化学習とMDPを核としていました。盤面の「状態」を読み取り、勝率という「報酬」が最大になるような次の一手という「行動」を選択するように学習しました。チェスなど他のゲームAIでも同様の仕組みが使われています。
- ロボット制御: 工場のロボットアームが製品を掴んで移動させたり、自動運転車が周囲の交通状況（状態）に応じて最適なハンドル操作や速度（行動）を決定したりするのに応用されています。
- 在庫管理・生産計画: 企業の在庫管理において、現在の在庫量や需要予測（状態）に基づき、最適な発注量（行動）を決定して、コスト（負の報酬）を最小化するのに役立ちます。
- 金融工学: 資産運用の分野で、市場の状況（状態）に応じて、どの金融商品に投資するか（行動）を決定し、将来の利益（報酬）を最大化する戦略を立てるために利用されることがあります。
まとめ
マルコフ決定過程モデル（MDP）は、不確実性を含む複雑な世界で、AIが最適な意思決定を行うための強力な数学的フレームワークです。 「状態」「行動」「報酬」といった要素を使って問題をモデル化し、「将来の総報酬を最大化する」という明確な目標を設定することで、合理的な行動戦略を導き出すことができます。
強化学習の根幹をなすこの考え方は、AI技術の発展とともに、今後さらに多くの分野でその重要性を増していくことでしょう。