はじめに
ディープラーニングを学び始めると、「大域最適解（たいいきさいてきかい）」や「局所最適解（きょくしょさいてきかい）」といった言葉を耳にすることがあります。これらの概念は、モデルの学習がどのように進むのかを理解する上で非常に重要です。 この記事では、AI初心者の方でも理解できるように、「大域最適解」とは何か、そしてディープラーニングにおいてそれがどのような意味を持つのかを、具体例を交えながらわかりやすく解説していきます。
大域最適解とは？
大域最適解とは、ある問題において考えられるすべての選択肢の中で、最も良い結果（最適解）のことを指します。
例えば、日本全国で一番標高が高い場所を探す問題を考えてみましょう。この場合、日本中のあらゆる地点の標高を比較し、最も高い地点である富士山の山頂が「大域最適解」にあたります。
対義語：局所最適解
大域最適解の対義語として「局所最適解」があります。これは、ある限られた範囲の中では最も良い解ですが、全体で見ると必ずしも一番良い解ではない状態を指します。
先ほどの山の例で言えば、あなたが今いる場所の近所にある丘の頂上に登ったとします。その頂上は、周りを見渡す限りでは一番高い場所（局所最適解）ですが、日本全体で見ると富士山というもっと高い場所（大域最適解）が存在します。
大域最適解と局所最適解の違い
| 項目 | 大域最適解 (Global Optimum) | 局所最適解 (Local Optimum) |
|---|---|---|
| 定義 | 探索する空間全体で最も良い解 | ある特定の範囲（近傍）において最も良い解 |
| 性質 | 唯一または複数存在するが、その値は全て同じ | 多数存在する可能性があり、それぞれ値が異なる |
| 例え | 世界で一番高い山（エベレスト） | 近所の丘や、特定の山脈で一番高い山 |
ディープラーニングにおける大域最適解
ディープラーニングにおける「学習」とは、モデルの性能を最も良くするための最適なパラメータ（重みやバイアス）を探す作業です。 このプロセスは、損失関数と呼ばれる指標の値を最小化する問題として扱われます。 損失関数は、モデルの予測と実際の正解との「誤差」を示し、この値が小さいほどモデルの性能が良いことを意味します。
つまり、ディープラーニングにおける大域最適解とは、損失関数の値を最小にするパラメータの組み合わせを指します。 これを見つけることができれば、理論上は最も性能の高いモデルが完成するということになります。
なぜ大域最適解を見つけるのが難しいのか？
しかし、実際のディープラーニングでは、真の大域最適解を見つけることは極めて困難とされています。 その主な理由は以下の通りです。
- 高次元で複雑な損失関数
近年のディープラーニングモデルは、数百万から数億、あるいはそれ以上のパラメータを持ちます。これは、損失関数が数百万次元以上の非常に複雑な形状を持つことを意味します。その形は、無数の谷（局所最適解）や平坦な領域（プラトー）が存在する、起伏の激しい地形のようになっています。 - 局所最適解への陥りやすさ
モデルの学習は、この複雑な地形の中で、損失が最も低くなる地点（谷底）を探す旅のようなものです。一般的に使われる勾配降下法という手法は、現在の位置から最も傾きが急な方向へ下っていく方法ですが、この方法では近くにある谷（局所最適解）に落ち込んでしまい、そこから抜け出せなくなることがよくあります。
このような理由から、ディープラーニングの実践においては、真の大域最適解を厳密に求めるのではなく、「実用上、十分に性能の良い局所最適解」を見つけることが現実的な目標となります。
局所最適解を乗り越えるための最適化手法
研究者たちは、局所最適解に陥る問題を緩和し、より良い解を見つけるために様々な最適化アルゴリズムを開発してきました。ここでは代表的なものをいくつか紹介します。
1. 確率的勾配降下法 (SGD)
最も基本的な勾配降下法は、全ての学習データを使って一度に勾配を計算しますが、SGD (Stochastic Gradient Descent) は、ランダムに選び出した一部のデータ（ミニバッチ）だけを使って勾配を計算し、パラメータを更新します。 これにより、計算が高速になるだけでなく、更新にランダム性が生まれるため、局所最適解から抜け出しやすくなる効果が期待できます。
2. Momentum
Momentumは、物理世界の「慣性」の概念を導入した手法です。 坂道を転がるボールが、少しのくぼみ（局所最適解）なら勢いで通り過ぎてしまうように、過去の更新方向を現在の更新に加えることで、局所最適解を乗り越えたり、学習の停滞を防いだりする効果があります。
3. Adam
Adam (Adaptive Moment Estimation) は、現在最も広く使われている最適化手法の一つです。 Momentumの考え方に加え、各パラメータの更新量を自動で調整する機能（適応的学習率）を持っています。 これにより、安定して高速に学習が進むことが多く、多くの深層学習タスクで最初に試される手法となっています。
以下は、PythonのライブラリKerasを使った際の、最適化手法の指定方法の簡単な例です。
import tensorflow as tf
# モデルの定義 (省略)
model = tf.keras.models.Sequential([ tf.keras.layers.Dense(128, activation='relu'), tf.keras.layers.Dense(10, activation='softmax')
])
# 最適化手法としてAdamを指定してモデルをコンパイル
model.compile(optimizer='adam', loss='sparse_categorical_crossentropy', metrics=['accuracy']) まとめ
この記事では、ディープラーニングにおける「大域最適解」について解説しました。
- 大域最適解とは、考えられるすべての選択肢の中で最も良い解のこと。
- 局所最適解とは、限られた範囲内では最適だが、全体ではそうではない解のこと。
- ディープラーニングでは、損失関数を最小化するパラメータ（大域最適解）を見つけることが理想だが、非常に困難。
- そのため、実際にはAdamなどの最適化手法を用いて、性能の良い局所最適解を見つけることが目標となる。
「大域最適解」という概念を理解することは、ディープラーニングの学習がなぜ難しいのか、そして様々な最適化手法がなぜ必要なのかを知るための第一歩です。この知識が、あなたのAI・ディープラーニング学習の助けになれば幸いです。